北京四中網(wǎng)校：中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)分析--探索型問題(2)

例3.如圖，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°

　　(1)操作并觀察，如圖，將三角板的45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，使這個(gè)角落在∠ACB的內(nèi)部，兩邊分別與斜邊AB交于E、F兩點(diǎn)，然后將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在∠ACB的內(nèi)部旋轉(zhuǎn)，觀察在點(diǎn)E、F的位置發(fā)生變化時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)線段是否始終是EF？

　　寫出觀察結(jié)果。

寫出觀察結(jié)果。

　　(2)探索：AE、EF、FB這三條線段能否組成以EF為斜邊的直角三角形(即能否有EF2=AE2+BF2)？如果能，試加以證明。

　　分析：操作、觀察不是重點(diǎn)，探索、猜測(cè)才是整個(gè)題目的重點(diǎn)，是難點(diǎn)，也就是說(shuō)，從操作中獲取信息是探索問題的過程中最重要的。
　　(1)中只須旋轉(zhuǎn)∠ECF中用刻度尺量一量或觀察，即可得到。
　　(2)要判斷EF²=AE²+EF²，思路是把AE、EF、FB搬到一個(gè)三角形中，通常用平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等方法，此題目用翻折的方法，出現(xiàn)和線段AE、BF相等的線段，并且和EF在一個(gè)三角形中。

　　解：(1)觀察結(jié)果是：當(dāng)45°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)C重合，并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在重合，并將這個(gè)角繞著點(diǎn)C在ÐACB內(nèi)部旋轉(zhuǎn)時(shí)，AE、EF、FB中最長(zhǎng)的線段始終是EF。

　　(2)AE、EF、FB三條線段能構(gòu)成以EF為斜邊的直角三角形，證明如下：

　　例4.(北京朝陽(yáng)區(qū)，最后一題)如圖，一個(gè)圓形街心花園，有三個(gè)出口A，B，C，每?jī)蓚�(gè)出口之間有一條60米長(zhǎng)的道路，組成正三角形ABC，在中心點(diǎn)O處有一亭子，為使亭子與原有的道路相通，需再修三條小路OD，OE，OF，使另一出口D、E、F分別落在ΔABC分成三個(gè)全等的多邊形，以備種植不同品種的花草。

　　(1)請(qǐng)你按以上要求設(shè)計(jì)兩種不同的方案，將你的設(shè)計(jì)方案分別畫在圖1，圖2中，并附簡(jiǎn)單說(shuō)明。
　　(2)要使三條小路把ΔABC分成三個(gè)全等的等腰梯形，應(yīng)怎樣設(shè)計(jì)？請(qǐng)把方案畫在圖3中，并求此時(shí)三條小路的總長(zhǎng)。
　　(3)請(qǐng)你探究出一種一般方法，使得出口D不論在什么位置，都能準(zhǔn)確地找到另外兩個(gè)出口E、F的位置，請(qǐng)寫明這個(gè)方法。
　　(4)你在(3)中探究出的一般方法適用于正五邊形嗎？請(qǐng)結(jié)合圖5予以說(shuō)明，這種方法能推廣到正n邊形嗎？

　　例5.某房地產(chǎn)公司要在一塊地(圖中矩形ABCD)上規(guī)劃建造一個(gè)小區(qū)公園(矩形GHCK)，為了使文物保護(hù)區(qū)ΔAEF不被破壞，矩形公園的頂點(diǎn)G不能在文物保護(hù)區(qū)內(nèi)，已知AB=200m, AD=160m, AE=60m, AF=40m。

　　(1)求矩形小區(qū)公園的頂點(diǎn)G恰是EF的中點(diǎn)時(shí)，公園的面積。
　　(2)當(dāng)G在EF上什么位置時(shí)，公園面積最大？

　　分析：第一問比較容易，求出矩形GHCK的長(zhǎng)和寬，注意利用ΔAEF的條件。
　　第二問是個(gè)探索性的問題，求面積的最大值，常用的辦法是將面積表示成長(zhǎng)(或者寬)的函數(shù)。

　　說(shuō)明：對(duì)于探索某一個(gè)量最大、最小的問題，利用函數(shù)思想是首選的方法，可以設(shè)置適當(dāng)?shù)淖兞浚�所求的量用它�?lái)表示，從而用函數(shù)的最大最小來(lái)求。

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