第十五講 相似三角形(一)

　　例1 如圖2-64所示，已知AB∥EF∥CD，若AB=6厘米，CD=9厘米．求EF．

　　分析 由于BC是△ABC與△DBC的公共邊，且AB∥EF∥CD，利用平行線分三角形成相似三角形的定理，可求EF．

　　解 在△ABC中，因為EF∥AB，所以

　　同樣，在△DBC中有

　　設(shè)EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入③得

　　說明 由證明過程我們發(fā)現(xiàn)，本題可以有以下一般結(jié)論：“如本題

　　例2 如圖2-65所示． ABCD的對角線交于O，OE交BC于E，交AB的延長線于F．若AB=a，BC=b，BF=c，求BE．

　　分析 本題所給出的已知長的線段AB，BC，BF位置分散，應(yīng)設(shè)法利用平行四邊形中的等量關(guān)系，通過輔助線將長度已知的線段“集中”到一個可解的圖形中來，為此，過O作OG∥BC，交AB于G，構(gòu)造出△FEB∽△FOG，進而求解．

　　解 過O作OG∥BC，交AB于G．顯然，OG是△ABC的中位線，所以

　　在△FOG中，由于GO∥EB，所以

　　例3 如圖2-66所示．在△ABC中，∠BAC=120°，AD平分

　　分析 因為AD平分∠BAC(=120°)，所以∠BAD= ∠EAD=60°．若引DE∥AB，交AC于E，則△ADE為正三角形，從而AE=DE=AD，利用△CED∽△CAB，可實現(xiàn)求證的目標(biāo)．

　　證 過D引DE∥AB，交AC于E．因為AD是∠BAC的平分線，∠BAC=120°，所以

∠BAD=∠CAD=60°．

∠BAD=∠EDA=60°，

　　所以△ADE是正三角形，所以

　　EA=ED=AD． ①

　　由于DE∥AB，所以△CED∽△CAB，所以

　　從而

　　例4 如圖2-67所示． ABCD中，AC與BD交于O點，E為AD延長線上一點，OE交CD于F，EO延長線交AB于G．求證：

　　分析 與例2類似，求證中諸線段的位置過于“分散”，因此，應(yīng)利用平行四邊形的性質(zhì)，通過添加輔助線使各線段“集中”到一個三角形中來求證．

　　證 延長CB與EG，其延長線交于H，如虛線所示，構(gòu)造平行四邊形AIHB．在△EIH中，由于DF∥IH，所以

　　在△OED與△OBH中，

∠DOE=∠BOH，∠OED=∠OHB，OD=OB，

　　所以 △OED≌△OBH(AAS)．

DE=BH=AI，

　　例5(梅內(nèi)勞斯定理) 一條直線與三角形ABC的三邊BC，CA，AB(或其延長線)分別交于D，E，F(如圖2-68所示)．求

　　分析 設(shè)法引輔助線(平行線)將求證中所述諸線段“集中”到同一直線上進行求證．

　　證 過B引BG∥EF，交AC于G．由平行線截線段成比例性質(zhì)知

　　說明 本題也可過C引CG∥EF交AB延長線于G，將求證中所述諸線段“集中”到邊AB所在直線上進行求證．

　　例6 如圖2-69所示．P為△ABC內(nèi)一點，過P點作線段DE，FG，HI分別平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425．求d．

　　分析 由于圖中平行線段甚多，因而產(chǎn)生諸多相似三角形及平行四邊形．利用相似三角形對應(yīng)邊成比例的性質(zhì)及平行四邊形對邊相等的性質(zhì)，首先得到一個一般關(guān)系：

　　進而求d．

　　因為FG∥BC，HI∥CA，ED∥AB，易知，四邊形AIPE，BDPF，CGPH均是平行四邊形．△BHI∽△AFG∽△ABC，從而

　　DE=PE＋PD=AI＋FB， ④

　　AF=AI＋FI， ⑤

　　BI=IF＋FB． ⑥

DE＋AF＋BI=2×(AI＋IF＋FB)=2AB．

　　從而

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