第八講 根與系數的關系及應用

如果一元二次方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的兩根為x₁，x₂，那么

反過來，如果x₁，x₂滿足x₁+x₂=p，x₁x₂=q，則x₁，x₂是一元二次方程x₂-px+q=0的兩個根．一元二次方程的韋達定理，揭示了根與系數的一種必然聯系．利用這個關系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數式的值、構造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學數學中的一個有用的工具．

　　1．已知一個根，求另一個根

　　例1 方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的大根為a，方程x²＋1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值．

　　解 先求出a，b．

　　由觀察知，1是方程(1998x)²-1997?1999x-1=0的根，于是由韋達

　　又從觀察知，1也是方程x²＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根為-1999，從而b=-1999．

　　所以a-b=1-(-1999)=2000．

　　例2 設a是給定的非零實數，解方程

　　解 由觀察易知，x1=a是方程的根．又原方程等價于

　　2．求根的代數式的值

　　例3 已知二次方程x²-3x＋1=0的兩根為α，β，求：

　　(3)α3＋β3；(4)α3-β3．

　　解 由韋達定理知

α+β=3，αβ=1．

　　(3)α³＋β³=(α+β)(α²-αβ+β²)

　　　　　　　=(α+β)[(α+β)²-3αβ]

　　　　　　　=3(9-3)=18；

　　(4)α³-β³=(α-β)(α²+αβ+β²)

　　　　　 　=(α-β)[(α+β)²-αβ]

　　例4 設方程4x²-2x-3=0的兩個根是α和β，求4α²＋2β的值．

　　解 因為α是方程4x²-2x-3=0的根，所以

4α²-2α-3＝0，

4α²=2α＋3．

4α²+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．

　　例5 已知α，β分別是方程x²＋x-1=0的兩個根，求2α⁵+5β³的值．

　　解 由于α，β分別是方程x²＋x-1=0的根，所以

α²+α-1=0，β²+β-1=0，

即 α²=1-α，β²=1-β．

　　　　　α⁵=(α²)²?α=(1-α)²α=(α²-2α+1)α

　　　　　　=(1-α-2α+1)α=-3α²+2α

　　　　　　=-3(1-α)+2α=5α-3，

　　　　　β³=β²?β=(1-β)β=β-β²

　　　　　 　=β-(1-β)=2β-1．

　　　　　2α⁵+5β³=2(5α-3)+5(2β-1)

　　　　　　　　 　=10(α+β)-11=-21．

　　說明 此解法的關鍵在于利用α，β是方程的根，從而可以把它們的冪指數降次，最后都降到一次，這種方法很重要．

　　例6 設一元二次方程ax²＋bx＋c=0的兩個實根的和為s₁，平方和為s₂，立方和為s₃，求as₃＋bs₂＋cs₁的值．

　　解 設x₁，x₂是方程的兩個實根，于是

所以 　　　　　as₃＋bs₂＋cs₁=0．

　　說明 本題最“自然”的解法是分別用a，b，c來表示s₁，s₂，s₃，然后再求as₃＋bs₂＋cs₁的值．當然這樣做運算量很大，且容易出錯．下面我們再介紹一種更為“本質”的解法．

　　另解 因為x₁，x₂是方程的兩個實根，所以

as₃＋bs₂＋cs₁＝0．

　　3．與兩根之比有關的問題

　　例7 如果方程ax²＋bx＋c=0(a≠0)的根之比等于常數k，則系數a，b，c必滿足：

kb²=(k＋1)²ac．

　　證 設方程的兩根為x₁，x₂，且x₁=kx₂，由韋達定理

由此兩式消去x₂得

kb²＝(k＋1)²ac．

　　例8 已知x₁，x²是一元二次方程

4x²-(3m-5)x-6m²＝0

　　解 首先，△=(3m-5)²＋96m²＞0，方程有兩個實數根．由韋達定理知

從上面兩式中消去k，便得

即 　　　　　　m²-6m+5=0，

所以 m₁=1，m₂=5．

　　4．求作新的二次方程

　　例9 已知方程2x²-9x＋8=0，求作一個二次方程，使它的一個根為原方程兩根和的倒數，另一根為原方程兩根差的平方．

　　解 設x₁，x₂為方程2x²-9x＋8=0的兩根，則

設所求方程為x²+px+q=0，它的兩根為x'₁，x'₂，據題意有

36x²-161x＋34=0．

　　例10 設x²-px＋q=0的兩實數根為α，β．

　　(1)求以α³，β³為兩根的一元二次方程；

　　(2)若以α³，β³為根的一元二次方程仍是x²-px＋q=0，求所有這樣的一元二次方程．

解 (1)由韋達定理知

α+β=p，αβ=q，

α³+β³=(α+β)[(α+β)²-3αβ]=p(p²-3q)，

α³?β³=(αβ)³=q³．

所以，以α³，β³為兩根的一元二次方程為

x²-p(p²-3q)x+q³=0．

　　(2)由(1)及題設知

由②得q=0，±1．若q=0，代入①，得p=0，±1；若q=-1，代入①，

以，符合要求的方程為

x²=0，x²-x=0，x²+x=0，x²-1=0．

　　5．證明等式和不等式

　　例11 已知實數x，y，z滿足

x=6-y，z²=xy-9，

求證：x=y．

　　證 因為x＋y=6，xy=z²＋9，所以x，y是二次方程

t²-6t+(z²+9)=0

△=36-4(z²+9)=-4z²≥0，

即z²≤0．因z為實數，顯然應有z²≥0．要此兩式同時成立，只有z=0，從而△=0，故上述關于t的二次方程有等根，即x=y．

　　例12 若a，b，c都是實數，且

a＋b＋c=0，abc=1，

　　證 由a＋b＋c=0及abc=1可知，a，b，c中有一個正數、兩個負數，不妨設a是正數，由題意得

于是根據韋達定理知，b，c是方程

的兩個根．又b，c是實數，因此上述方程的判別式

因為a＞0，所以

a³-4≥0，a³≥4，

　　例13 知x₁，x²是方程4ax²-4ax+a+4=0的兩個實根．

　　解 (1)顯然a≠0，由△=16a²-16a(a+4)≥0，得a＜0．由韋達定理知

所以a=9，這與a＜0矛盾．故不存在a，使

(2)利用韋達定理

所以(a+4)|16，即a+4=±1，±2，±4，±8，±16．結合a＜0，得a=-2，-3，-5，-6，-8，-12，-20．

　　1．選擇：

　　(1)若x₀是一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)的根，則判別式△=b²-4ac與平方式M=(2ax₀+b)²的關系是 [ 　　]

　　　(A)△＞M 　　　　　　(B)△=M

　　　(C)△=＜M 　　　　　　(D)不確定

　　(2)方程x²+px+1997=0恰有兩個正整數根x₁，x₂，則　

　　[ 　　]

　　　(A)-4　　　　　　(B)8

　　　(C)6 　　　　　　(D)0

　　為 [ 　　]

　　　(A)3　　　　　　　(B)-11

　　　(C)3或-11　　　　　(D)11

　　2．填空：

　　(1)如果方程x²+px+q=0的一根為另一根的2倍，那么，p，q滿足的關系式是______．

　　(2)已知關于x的一元二次方程ax²+bx+c=0沒有實數根，甲由于看錯了二次項系數，誤求得兩根為2和4，乙由于看錯了某一項系數的符號，

1993+5a²+9a⁴=_______．

　　(4)已知a是方程x²-5x+1=0的一個根，那么a⁴+a-4的末位數是______．

　　另一根為直角邊a，則此直角三角形的第三邊b=______．

　　3．已知α，β是方程x²-x-1=0的兩個實數根，求α⁴+3β的值．

　　4．作一個二次方程，使它的兩個根α，β是正數，并且滿足關系式