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來(lái)源：初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 2005-09-09 16:11:15
由平行四邊形的定義決定了它有以下幾個(gè)基本性質(zhì)：
(1)平行四邊形對(duì)角相等；
(2)平行四邊形對(duì)邊相等；
(3)平行四邊形對(duì)角線互相平分．
除了定義以外，平行四邊形還有以下幾種判定方法：
(1)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；
(2)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；
(3)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形；
(4)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形．
例1 如圖2-32所示．在ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求證：EF與MN互相平分．
分析 只要證明ENFM是平行四邊形即可，由已知，提供的等量要素很多，可從全等三角形下手．
證 因?yàn)?/FONT>ABCD是平行四邊形，所以
ADBC，AB
CD，∠B=∠D．
又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，從而
AE=CF．
所以
Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以
△BEM≌△DFN(SAS)，
ME=NF． ①
又因?yàn)?/FONT>AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以
△MAF≌△NCE(SAS)，
所以 MF=NF． ②
由①，②，四邊形ENFM是平行四邊形，從而對(duì)角線EF與MN互相平分．
例2 如圖2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求證：AE=CF．
分析 AE與CF分處于不同的位置，必須通過(guò)添加輔助線使兩者發(fā)生聯(lián)系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分線，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又連接EH，可證△ABE≌△HBE，從而AE=HE．這樣，將AE“轉(zhuǎn)移”到EH位置．設(shè)法證明EHCF為平行四邊形，問(wèn)題即可獲解．
證 作GH⊥BC于H，連接EH．因?yàn)?/FONT>BG是∠ABH的平分線，GA⊥BA，所以GA=GH，從而
△ABG≌△HBG(AAS)，
所以 AB=HB． ①
在△ABE及△HBE中，
∠ABE=∠CBE，BE=BE，
所以 △ABE≌△HBE(SAS)，
所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH．
下面證明四邊形EHCF是平行四邊形．
因?yàn)?/FONT>AD∥GH，所以
∠AEG=∠BGH(內(nèi)錯(cuò)角相等)． ②
又∠AEG=∠GEH(因?yàn)椤?/FONT>BEA=∠BEH，等角的補(bǔ)角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形對(duì)應(yīng)角相等)，所以
∠AGB=∠GEH．
從而
EH∥AC(內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行)．
由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四邊形，所以
FC=EH=AE．
說(shuō)明 本題添加輔助線GH⊥BC的想法是由BG為∠ABC的平分線的信息萌生的(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等)，從而構(gòu)造出全等三角形ABG與△HBG．繼而發(fā)現(xiàn)△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的過(guò)渡．這樣，證明EHCF是平行四邊形就是順理成章的了．
人們?cè)趯W(xué)習(xí)中，經(jīng)過(guò)刻苦鉆研，形成有用的經(jīng)驗(yàn)，這對(duì)我們探索新的問(wèn)題是十分有益的．
例3 如圖2-34所示．ABCD中，DE⊥AB于E，BM=MC=DC．求證：∠EMC=3∠BEM．
分析 由于∠EMC是△BEM的外角，因此∠EMC=∠B+∠BEM．從而，應(yīng)該有∠B=2∠BEM，這個(gè)論斷在△BEM內(nèi)很難發(fā)現(xiàn)，因此，應(yīng)設(shè)法通過(guò)添加輔助線的辦法，將這兩個(gè)角轉(zhuǎn)移到新的位置加以解決．利用平行四邊形及M為BC中點(diǎn)的條件，延長(zhǎng)EM與DC延長(zhǎng)線交于F，這樣∠B=∠MCF及∠BEM=∠F，因此， 只要證明∠MCF=2∠F即可．不難發(fā)現(xiàn)，△EDF為直角三角形(∠EDF=90°)及M為斜邊中點(diǎn)，我們的證明可從這里展開．
證 延長(zhǎng)EM交DC的延長(zhǎng)線于F，連接DM．由于CM=BM，∠F=∠BEM，∠MCF=∠B，所以
△MCF≌△MBE(AAS)，
所以M是EF的中點(diǎn)．由于AB∥CD及DE⊥AB，所以，DE⊥FD，三角形DEF是直角三角形，DM為斜邊的中線，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)知
∠F=∠MDC，
又由已知MC=CD，所以
∠MDC=∠CMD，
則
∠MCF=∠MDC+∠CMD=2∠F．
從而
∠EMC=∠F+∠MCF=3∠F=3∠BEM．
例4 如圖2-35所示．矩形ABCD中，CE⊥BD于E，AF平分∠BAD交EC延長(zhǎng)線于F．求證：CA=CF．
分析 只要證明△CAF是等腰三角形，即∠CAF=∠CFA即可．由于∠CAF=45°-∠CAD，所以，在添加輔助線時(shí)，應(yīng)設(shè)法產(chǎn)生一個(gè)與∠CAD相等的角a，使得∠CFA=45°-a．為此，延長(zhǎng)DC交AF于H，并設(shè)AF與BC交于G，我們不難證明∠FCH=∠CAD．
證 延長(zhǎng)DC交AF于H，顯然∠FCH=∠DCE．又在Rt△BCD中，由于CE⊥BD，故∠DCE=∠DBC．因?yàn)榫匦螌?duì)角線相等，所以△DCB≌△CDA，從而∠DBC=∠CAD，因此，
∠FCH=∠CAD． ①
又AG平分∠BAD=90°，所以△ABG是等腰直角三角形，從而易證△HCG也是等腰直角三角形，所以∠CHG=45°．由于∠CHG是△CHF的外角，所以
∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°，
所以 ∠CFH=45°-∠FCH． ②
由①，②
∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF，
于是在三角形CAF中，有
CA=CF．
例5 設(shè)正方形ABCD的邊CD的中點(diǎn)為E，F是CE的中點(diǎn)(圖2-36)．求證：
分析 作∠BAF的平分線，將角分為∠1與∠2相等的兩部分，設(shè)法證明∠DAE=∠1或∠2．
證 如圖作∠BAF的平分線AH交DC的延長(zhǎng)線于H，則∠1=∠2=∠3，所以
FA=FH．
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，在Rt△ADF中，
從而
所以 Rt△ABG≌Rt△HCG(AAS)，
從而
Rt△ABG≌Rt△ADE(SAS)，
例6 如圖2-37所示．正方形ABCD中，在AD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，F，使DE=AD，DF=BD，連接BF分別交CD，CE于H，G．求證：△GHD是等腰三角形．
分析 準(zhǔn)確地畫圖可啟示我們證明∠GDH=∠GHD．
證 因?yàn)?/FONT>DEBC，所以四邊形BCED為平行四邊形，所以∠1=∠4．又BD=FD，所以
所以 BC=GC=CD．
因此，△DCG為等腰三角形，且頂角∠DCG=45°，所以
又
所以 ∠HDG=∠GHD，
從而GH=GD，即△GHD是等腰三角形．
練習(xí)十二
1．如圖2-38所示．DE⊥AC，BF⊥AC，DE=BF，∠ADB=∠DBC．求證：四邊形ABCD是平行四邊形．
2．如圖2-39所示．在平行四邊形ABCD中，△ABE和△BCF都是等邊三角形．求證：△DEF是等邊三角形．
3．如圖2-40所示．ABCD中，AF平分∠BAD交BC于F，DE⊥AF交CB于E．求證：BE=CF．
4．如圖2-41所示．矩形ABCD中，F在CB延長(zhǎng)線上，AE=EF，CF=CA．求證：BE⊥DE．
5．如圖2-42所示．在正方形ABCD中，CE垂直于∠CAB的平分
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