我們常常遇到求最大值和最小值的問題，在許多情況下可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值與最小值．這類問題涉及的知識(shí)面廣，綜合性強(qiáng)，解法靈活，因而對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力具有重要作用．本講從四個(gè)方面來討論如何求解函數(shù)的最大值與最小值問題．
1．一次函數(shù)的最大值與最小值
一次函數(shù)y=kx＋b在其定義域(全體實(shí)數(shù))內(nèi)是沒有最大值和最小值的，但是，如果對(duì)自變量x的取值范圍有所限制時(shí)，一次函數(shù)就可能有最大值和最小值了．
例1 設(shè)a是大于零的常數(shù)，且a≠1，
求y的最大值與最小值．
大值a．
例2 已知x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足條件
x＋y＋z=30，3x+y-z=50．
求u=5x＋4y＋2z的最大值和最小值．
分析 題設(shè)條件給出兩個(gè)方程，三個(gè)未知數(shù)x，y，z，當(dāng)然，x，y，z的具體數(shù)值是不能求出的．但是，我們固定其中一個(gè)，不妨固定x，那么y，z都可以用x來表示，于是u便是x的函數(shù)了．
解 從已知條件可解得
y=40-2x，z=x-10．
所以
u=5x＋4y+2z
＝5x＋4(40-2x)＋2(x-10)
=-x+140．
又y，z均為非負(fù)實(shí)數(shù)，所以
解得10≤x≤20．
由于函數(shù)u=-x＋140是隨著x的增加而減小的，所以當(dāng)x=10時(shí)，u有最大值130；當(dāng)x=20時(shí)，u有最小值120．
2．二次函數(shù)的最大值與最小值
例3 已知x1，x2是方程
x2-(k-2)x＋(k2+3k+5)=0
解 由于二次方程有實(shí)根，所以
△=[-(k-2)]2-4(k2+3k+5)≥0，
3k2＋16k＋16≤0，
例4 已知函數(shù)
有最大值-3，求實(shí)數(shù)a的值．
解 因?yàn)?/FONT>
的范圍內(nèi)分三種情況討論．
-a2＋4a-1＝-3
例5 已知邊長(zhǎng)為4的正方形截去一個(gè)角后成為五邊形ABCDE(如圖3－12)，其中AF=2，BF=1．試在AB上求一點(diǎn)P，使矩形PNDM有最大面積．
解 設(shè)矩形PNDM的邊DN=x，NP=y，于是矩形PNDM的面積
S=xy，2≤X≤4．
易知CN=4-x，EM=4-y，且有
二次函數(shù)S=f(x)的圖像開口向下，對(duì)稱軸為x=5，故當(dāng)x≤5時(shí)，函數(shù)值是隨x的增加而增加，所以，對(duì)滿足2≤x≤4的S來說，當(dāng)x=4時(shí)有最大值
例6 設(shè)p＞0，x=p時(shí)，二次函數(shù)f(x)有最大值5，二次函數(shù)g(x)的最小值為-2，且g(p)=25，f(x)+g(x)=x2+16x+13．求g(x)的解析式和p的值．
解 由題設(shè)知
f(p)=5，g(p)=25，
f(p)＋g(p)=p2＋16p＋13，
所以 p2＋16p+13=30，
p=1(p=-17舍去)．
由于f(x)在x=1時(shí)有最大值5，故設(shè)
f(x)=a(x-1)2+5，a＜0，
所以
g(x)=x2+16x+13-f(x)
=(1-a)x2+2(a＋8)x＋8-a．
由于g(x)的最小值是-2，于是
解得a=-2，從而
g(x)=3x2＋12x＋10．
3．分式函數(shù)的最大值與最小值
法是去分母后，化為關(guān)于x的二次方程，然后用判別式△≥0，得出y的取值范圍，進(jìn)而定出y的最大值和最小值．
解 去分母、整理得
(2y-1)x2+2(y+1)x+(y+3)=0．
△≥0，即
△=[2(y+1)]2-4(2y-1)(y＋3)≥0，
解得 -4≤y≤1．
時(shí)，取最小值-4，當(dāng)x=-2時(shí)，y取最大值1．
說明 本題求最值的方法叫作判別法，這也是一種常用的方法．但在用判別法求最值時(shí)，應(yīng)特別注意這個(gè)最值能否取到，即是否有與最值相應(yīng)的x值．
解 將原函數(shù)去分母，并整理得
yx2-ax＋(y-b)＝0．
因x是實(shí)數(shù)，故
△=(-a)2-4?y?(y-b)≥0，
由題設(shè)知，y的最大值為4，最小值為-1，所以
(y+1)(y-4)≤0，
即 y2-3y-4≤0． ②
由①，②得
所以a=±4，b=3．
4．其他函數(shù)的最大值與最小值
處理一般函數(shù)的最大值與最小值，我們常常用不等式來估計(jì)上界或下界，進(jìn)而構(gòu)造例子來說明能取到這個(gè)上界或下界．
解 先估計(jì)y的下界．
又當(dāng)x=1時(shí)，y=1，所以，y的最小值為1．
說明 在求最小(大)值，估計(jì)了下(上)界后，一定要舉例說明這個(gè)界是能取到的，才能說這就是最小(大)值，否則就不一定對(duì)了．例如，本題我們也可以這樣估計(jì)：
但無論x取什么值時(shí)，y取不到-3，即-3不能作為y的最小值．
例10 設(shè)x，y是實(shí)數(shù)，求u=x2＋xy+y2-x-2y的最小值．
分析 先將u看作是x的二次函數(shù)(把y看作常數(shù))，進(jìn)行配方后，再把余下的關(guān)于y的代數(shù)式寫成y的二次函數(shù)，再配方后，便可估計(jì)出下界來．
又當(dāng)x=0，y=1時(shí)，u=-1，所以，u的最小值為-1．
例11 求函數(shù)
的最大值，并求此時(shí)的x值，其中[a]表示不超過a的最大整數(shù)．
練習(xí)七
1．填空：
(1)函數(shù)y=x2＋2x-3(0≤x≤3)的最小值是_____，最大值是_______．
(3)已知函數(shù)y=x2+2ax+1(-1≤x≤2)的最大值是4，則a=_____．
是_______．
(5)設(shè)函數(shù)y=-x2-2kx-3k2-4k-5的最大值是M，為使M最大，k=_____．
2．設(shè)f(x)=kx＋1是x的函數(shù)，以m(k)表示函數(shù)f(x)=kx＋1在-1≤x≤3條件下的最大值，求函數(shù)m(k)的解析式和其最小值．
3．x，y，z是非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿足x＋3y＋2z=3，3x＋3y＋z=4．求u=3x-2y+4z的最大值與最小值．
4．已知x2＋2y2=1，求2x＋5y2的最大值和最小值．
交點(diǎn)間的距離的平方最小，求m的值．
6．已知二次函數(shù)y=x2＋2(a＋3)x＋2a＋4的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為α，β，當(dāng)實(shí)數(shù)a變動(dòng)時(shí)，求(α-1)2＋(β-1)2的最小值．
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