2021中考數學二次函數拔尖題練習(2)

　　(2)解：∵二次函數y＝mx2＋nx＋p與x軸交于A(x1,0)，B(x2,0)，x1＜0＜x2，

　　∴OA＝－x1，OB＝x2，x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm.

　　令x＝0，得y＝p，∴C(0，p)．∴OC＝|p|.

　　由三角函數定義，得tan∠CAO＝OCOA＝－|p|x1，tan∠CBO＝OCOB＝|p|x2.

　　∵tan∠CAO－tan∠CBO＝1，即－|p|x1－|p|x2＝1.

　　化簡，得x1＋x2x1?x2＝－1|p|.

　　將x1＋x2＝－nm，x1?x2＝pm代入，得－nmpm＝－1|p|化簡，得?n＝p|p|＝±1.

　　由(1)知n＋4m＝0，

　　∴當n＝1時，m＝－14；當n＝－1時，m＝14.

　　∴m，n的值為：m＝14，n＝－1(此時拋物線開口向上)或m＝－14，n＝1(此時拋物線開口向下)．

　　(3)解：由(2)知，當p＞0時，n＝1，m＝－14，

　　∴拋物線解析式為：y＝－14x2＋x＋p.

　　聯立拋物線y＝－14x2＋x＋p與直線y＝x＋3解析式得到－14x2＋x＋p＝x＋3，

　　化簡，得x2－4(p－3)＝0.

　　∵二次函數圖象與直線y＝x＋3僅有一個交點，

　　∴一元二次方程根的判別式等于0，

　　即Δ＝02＋16(p－3)＝0，解得p＝3.

　　∴y＝－14x2＋x＋3＝－14(x－2)2＋4.

　　當x＝2時，二次函數有最大值，最大值為4.

　　15．解：(1)設此拋物線的解析式為y＝a(x－3)2＋4，

　　此拋物線過點A(0，－5)，

　　∴－5＝a(0－3)2＋4，∴a＝－1.

　　∴拋物線的解析式為y＝－(x－3)2＋4，

　　即y＝－x2＋6x－5.

　　(2)拋物線的對稱軸與⊙C相離．

　　證明：令y＝0，即－x2＋6x－5＝0，得x＝1或x＝5，

　　∴B(1,0)，C(5,0)．

　　設切點為E，連接CE，

　　由題意，得，Rt△ABO∽Rt△BCE.

　　∴ABBC＝OBCE，即12＋524＝1CE，

　　解得CE＝426.

　　∵以點C為圓心的圓與直線BD相切，⊙C的半徑為r＝d＝426.

　　又點C到拋物線對稱軸的距離為5－3＝2，而2>426.

　　則此時拋物線的對稱軸與⊙C相離．
 

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