2022年初中數(shù)學(xué)實(shí)際問題中的不等式組

學(xué)習(xí)了一元一次不等式組以后，我們可以利用不等式組解決許多與實(shí)際密切聯(lián)系的問題。解決此類問題的關(guān)鍵是要找準(zhǔn)不等關(guān)系，從而根據(jù)不等關(guān)系列出不等式組把問題解決。一般情形下，在有關(guān)一元一次不等式組的實(shí)際問題中，不等關(guān)系分為兩種類型。

一、不等關(guān)系明顯型

此類問題的特點(diǎn)是在題目中會(huì)出現(xiàn)明顯的表示不等關(guān)系的關(guān)鍵字，如“大于”、“小于”、“不能超過”、“不少于”、“最多”等。

例1 (哈爾濱市)雙蓉服裝店老板到廠家選購A、B兩種型號(hào)的服裝，若銷售一件A型服裝可獲利18元，銷售一件B型服裝可獲利30元，根據(jù)市場需求，服裝店老板決定，購進(jìn)A型服裝的數(shù)量要比購進(jìn)B型服裝數(shù)量的2倍還多4件，且A型服裝最多可購進(jìn)28件，這樣服裝全部售出后，可使總獲利不少于699元，問有幾種進(jìn)貨方案?如何進(jìn)貨?

分析：由題意，本題不等關(guān)系非常明顯，由兩個(gè)表示不等關(guān)系的關(guān)鍵字即可看出，即“最多”和“不少于”，因此要解決本題我們可以直接根據(jù)這兩個(gè)關(guān)鍵字列出不等式組。

解：設(shè)B型服裝購進(jìn)x件，則A型服裝購進(jìn)件，根據(jù)題意，得

解得

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=10、11、12

所以、26、28

所以有三種進(jìn)貨方案：B型服裝購進(jìn)10件，A型服裝購進(jìn)24件或B型服裝購進(jìn)11件，A型服裝購進(jìn)26件;B型服裝購進(jìn)12件，A型服裝購進(jìn)28件。

例2 (連云港市)光明農(nóng)場有某種植物10000千克，打算全部用于生產(chǎn)高科技藥品和保健食品。若生產(chǎn)高科技藥品，1千克該植物可提煉出0.01千克的高科技藥品，將產(chǎn)生污染物0.1千克，每1千克高科技藥品可獲利潤5000元;每生產(chǎn)1千克保健食品可獲利潤100元。1千克該植物可生產(chǎn)0.2千克保健食品，將產(chǎn)生污染物0.04千克。要使總利潤不低于410000元，所產(chǎn)生的污染物總量不超過880千克，求用于生產(chǎn)高科技藥品的該植物重量的范圍。

分析：由題意很容易發(fā)現(xiàn)體現(xiàn)本題不等關(guān)系的兩個(gè)關(guān)鍵字，即“不低于”和“不超過”，因此我們就根據(jù)這兩個(gè)關(guān)鍵字列出不等式組把問題解決。

解：設(shè)用于生產(chǎn)高科技藥品的該植物重量為x千克，則用于生產(chǎn)保健食品的該植物重量為(10000-x)千克，根據(jù)題意，得

解得

所以用于生產(chǎn)高科技藥品的該植物重量不低于7000千克且不高于8000千克。

二、不等關(guān)系隱含型

此類問題的特點(diǎn)是題目中沒有出現(xiàn)表示不等關(guān)系的關(guān)鍵字，因此不等關(guān)系比較含蓄，需要我們從題意中分析得到。

例3 (廣東省茂名市)今年6月份，我市某果農(nóng)收獲荔枝30噸，香蕉13噸，現(xiàn)計(jì)劃租用甲、乙兩種貨車共10輛，將這批水果全部運(yùn)往深圳，已知甲種貨車可裝荔枝4噸和香蕉1噸，乙種貨車可裝荔枝、香蕉各2噸。

(1)該果農(nóng)安排甲、乙兩種貨車時(shí)有幾種方案?請你幫助設(shè)計(jì)出來。

(2)若甲種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)2000元，乙種貨車每輛要付運(yùn)輸費(fèi)1300元，則該果農(nóng)應(yīng)選擇哪種方案使運(yùn)輸費(fèi)最少?最少運(yùn)輸費(fèi)是多少?

分析：本題沒有明顯的不等關(guān)系，但是從題意可知本題是一個(gè)最優(yōu)方案設(shè)計(jì)問題，因此可以建立不等式組模型來解決問題。由題意，本題的不等關(guān)系為：10輛甲、乙兩種貨車的運(yùn)貨總量至少要達(dá)到30噸荔枝，13噸香蕉。

解：(1)設(shè)安排甲種貨車x輛，則安排乙種貨車(10-x)輛，根據(jù)題意，可得

解得5小于等于X大于等于7

因?yàn)閤為整數(shù)，所以x=5、6、7，

所以5、4、3。

所以車輛安排有三種方案：

方案一：甲種車、乙種車各5輛;

方案二：甲種車6輛、乙種車4輛;

方案三：甲種車7輛、乙種車3輛。

(2)方案一，要運(yùn)輸費(fèi)：

元

方案二，要運(yùn)輸費(fèi)：

元

方案三，要運(yùn)輸費(fèi)

元

這說明，方案一所需運(yùn)輸費(fèi)最少，為16500元。

例4 (常州市)七(2)班有50名學(xué)生，老師安排每人制作一件A型或B型的陶藝品，學(xué)校現(xiàn)有甲種制作材料36千克，乙種制作材料29千克，制作A、B兩種型號(hào)的陶藝品用料情況如下表：

需甲種材料 需乙種材料

1件A型陶藝品 0.9千克 0.3千克

1件B型陶藝品 0.4千克 1千克

(1)設(shè)制作B型陶藝品x件，求x的取值范圍;

(2)請你根據(jù)學(xué)校現(xiàn)有材料，分別寫出七(2)班制作A型和B型陶藝品的件數(shù)。

分析：本題題目中沒有出現(xiàn)明顯的表示不等關(guān)系的字，所以不等關(guān)系比較隱含，分析題意可發(fā)現(xiàn)，制作兩種型號(hào)的陶藝品的材料已給出限制，所用材料不能超過這個(gè)限制，因此我們就可以根據(jù)總材料的限制來列出本題的不等式組。

解：(1)設(shè)制作B型陶藝品x件，則制作A型陶藝品為(50-x)件，由題意，得

解得

(2)由(1)知，又因?yàn)閤為整數(shù)，

所以x=18、19、20，50-x=32、31、30

所以七(2)班制作A型和B型陶藝品的件數(shù)有三種可能：

可能一：制作A型陶藝32件，B型陶藝18件;

可能二：制作A型陶藝31件，B型陶藝19件;

可能三：制作A型陶藝30件，B型陶藝20件。

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