2023年初中數學坐標系與圖形面積

在平面直角坐標系中，求一個三角形面積，需要根據三角形的各頂點的坐標，確定底與高，進而求出三角形面積。其它不規(guī)則的多邊形經常通過割補轉化成三角形或可以計算的四邊形(矩形，梯形等)來計算面積。例如可以把四邊形分割成兩個三角形來計算(五邊形可以分割成3個三角形，n邊形可以分割成n-2個三角形)。所以最基礎最重要的就是三角形面積的計算!

三角形的面積計算

(一)有邊與坐標軸平行時，可以直接計算三角形面積。

如上圖，因為有邊與坐標軸平行，所以這條邊的長度，和這條邊上的高就非常容易計算，底BC=2-(-1)=3，高AD=3-1=2，之后可以直接計算△ABC的面積。

(二)當三角形是一個斜三角形

①鉛錘法(三角形面積=水平寬×鉛錘高÷2)

過點A作AD垂直于x軸，交BC于點D，則AD叫做鉛錘高。點D的橫坐標與A相同，縱坐標可以利用直線AD與直線BC求得，之后可以得到AD的長度。

過點B與點C作x軸的垂線，兩條垂線的距離叫做水平寬。

其原理就是把△ABC分割成兩個以AD為底的兩個三角形：△ABD與△CAD，它倆的高的和就是水平寬w，所以S△ABC=S△ABD+S△CAD=hw/2

②補成梯形，過三個頂點作x軸與y軸的垂線。

用S梯形ABDE-S△CEA-S△BDC

③也可以通過重組轉化成直角梯形面積的和與差。例如下圖，S△ABC=S梯形ABDE+S梯形CAEF-S梯形CBDF

方法很多，可根據題的特點和已知條件來靈活選擇解法。

多邊形

(一)分割成三角形或可以計算的四邊形(梯形等)

如圖所示，四邊形ABCD中，A(2，4)，B(1，2)，C(3，1)，D(5，3)，求四邊形ABCD的面積。例如：S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD

(二)也可以圍補成可以計算的四邊形，此處補成長方形再減去4個容易計算的直角三角形來計算。

把不規(guī)則圖形轉化成可以計算面積的規(guī)則圖形時，最基本的方法就是割與補，方法不是唯一的，可根據題的特點靈活選擇解法。

上面是坐標系下圖形面積的基本計算方法，實際題目會結合函數來出題，例如我們學過的一次函數。如果有動點，可以化動為靜，然后按照上面的基本方法把圖形面積表示出來。

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