2023年初中數學一元二次方程的知識體系

第一級：清晰掌握一元二次方程的概念

大家都認為了解概念很簡單，但是如果真要對概念特別熟悉，需要學會2個方法：

(1)拆分概念的描述;

(2) 熟悉概念的一般情況和特殊情況。

比如，一元二次方程的定義是：

等號兩邊是整式，只含有一個未知數(一元)，并且未知數的最高次數是2(二次)的方程，叫做一元二次方程。

(1)拆分概念

概念中包含4個要求

分別是顯示出來的：①整式方程、②一元、③二次

還有隱藏于其中的：④二次項系數不等于0.

(2)學會區分一般情況和特殊情況

一般情況容易辨別，直接根據上面的4個要求判斷就行;

特殊情況了解不多，在考察的時候往往就容易出錯。

比如這兩個式子是不是一元二次方程：

①ax^2+bx+c=0;②x^2+x+2=x(x+5);

(tips:你覺得兩個式子是or不是，可留言回復)

這是一種學習新概念的思路——首先拆分概念描述，然后了解有哪些一般情況和特殊情況。

在學習數學的其他概念時，可以參考這種方法。

拓展開來，把這個方法應用到其他物理、化學、法律等學科的概念，也可以適用。

第二級：掌握一元二次方程的4個解法

四個解法：直接開方法、配方法、公式法、因式分解法。

(1)直接開方法

此方法最簡單，一般有這幾種形式：

ax^2=k(k≥0)

(ax+b)^2=k(k≥0)

(ax+b)^2=(cx+d)^2

(2)配方法

配方法是需要把代數式化成平方(ax+b)^2=k的形式，用開方法解方程。

配方法的過程：

①二次項系數化為1;

②常數項右移;

③配方(加上一次項系數一半的平方);

④化成開平方的形式;

⑤直接開方求解;

(3)公式法

配方法的過程是固定的且重復的，我們把這種重復性的計算可以總結為公式，產生了公式法。

公式法還產生出了一個非常重要的知識點，就是方程的判別式△與方程解的個數關系：

①△>0，兩個不相等的實數根;

②△=0，兩個相等的實數根;

③△<0，無實根。

(4)因式分解法

因式分解法是利用a*b=0，則a=0或b=0的原理，把左邊的代數式進行因式分解。

如果熟練使用十字相乘法因式分解，則計算速度比用公式法還要快速。

比如式子：4x^2-12x+5=0

十字相乘法可以拆分為(2x-5)(2x-1)=0，馬上就可以得到方程的解。

4個解法的特點比較：

直接開方法格式要求比較高，出題少;

配方法和公式法適用于所有的一元二次方程;

因式分解法常用且解題速度快，要求熟練掌握;

大量的重復的機械性計算，一定可以歸納出一個數學工具——公式。

比如，從配方法歸納出公式法;從整式乘法歸納出平方差公式和完全平方公式。

拓展開來，在社會中，重復性的機械勞動也會從人工操作轉成智能程序控制。

比如：部分高速路收費員轉化成ETC;醫院的很多流程，從人工轉到了自助設備。

第三級：掌握一元二次方程的根與系數關系

從公式法中我們知道x1和x2的值，兩個根相加和相乘就產生了韋達定理：

x1+x2=-b/a，x1*x2=c/a

韋達定理的主要作用：

在不進行求解方程的情況下知道兩個根的和與兩個根的積是多少，還可以判斷兩個根的正負性。

同樣，根據兩個根的正負性也可以求出參數的范圍。

比如這樣的題目：

這類題目需要注意的一個易錯點是：

用韋達定理的前提是方程的判別式大于等于0，所以遇到用韋達定理的題目，先計算判別式是否大于等于0。

第四級：熟練解決一元二次方程的實際應用

實際應用題一般分為這幾類：

(1)一元二次方程增長率問題

(2)一元二次方程漲降價銷售問題

(3)一元二次方程圖形面積問題

(4)一元二次方程儲蓄問題

(5)一元二次方程循環握手或者病毒傳播問題

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