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    ​2023年初中數學對反比例函數圖象性質的深入解讀

    來源:網絡資源 2023-01-03 20:56:11

    中考真題

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    反比例函數的圖象與性質中,教材列舉了三個反比例函數y=2/x,y=4/x,y=6/x,要求觀察它們的圖象,發現它們的共同特征(教材第150頁),同時為了引導學生思考,提出了三個問題:

    (1)函數圖象分別位于哪個象限內?

    (2)在每一個象限內,隨著x值的增大,y的值是怎樣變化的?能說明這是為什么嗎?

    (3)反比例函數的圖象可能與x軸相交嗎?可能與y軸相交嗎?為什么?

    課堂反饋

    由于在前一節課中,我們練習過如何繪制反比例函數的圖象雙曲線,因此本節課的圖象是學生在練習本上繪制的,之所以沒有采用直接看課本,是為了進一步熟悉雙曲線的特點,動手畫比僅用眼看要深刻。

    繪制過程中,為了讓學生方便類比,于是建議在同一個坐標系中畫三對雙曲線,如下圖:

    很快,學生能夠觀察出第一個特征:當k>0時,雙曲線在第一、三象限,且關于原點中心對稱,關于y=x軸對稱;緊接著,第二個特征:在每個象限內,y隨x的增大而減少,之所以強制在每個象限內,是因為自變量x不為0,第三個特征:雙曲線無限接近坐標軸,這個特征是受問題3啟發,畢竟是否與x軸、y軸相交,屬于圖形直觀。

    按照教學要求,探索已經圓滿完成,無論是課程標準中對反比例函數的要求,還是教參上對此部分內容的要求,均已達到。

    課程標準要求:

    教參第212頁要求:

    因此,當學生提出第四個特征的時候,便是對反比例函數圖象的深入理解了,即當k越大,雙曲線離“中間”越遠。

    這是一句學生歸納用語,并不十分符合數學語言規范,但是對于這個探索成果,無論如何也不應該否定,因此,需要想辦法對它進行數學加工。

    學生的意思是k越大,雙曲線遠離坐標軸,但表述似乎也不對,剛剛探索到的第三條特征中不是說雙曲線無限接近坐標軸嗎?怎么又遠離呢?而事實上,如果觀察它們,確定一條比一條更“遠”。

    我們首先要明確學生的認知范圍,在初中階段,數學上形容遠近,是用距離這個概念,而最初的距離,出現在兩點之間的線段長度,后來的所有和距離有關的概念,無不是建立在兩點之間,例如點到直線的距離,過這一點向直線作垂線段,這點到垂足之間的距離叫點到直線的距離,再例如平行線間的距離,即其中一條直線上的任意點到另一條直線的距離,即使在學習圓之后,點和圓的位置關系時,距離是用點和圓心的距離,等等,基本上,談到距離,最終都會歸結為點與點之間的線段長度。

    那么雙曲線怎么辦?參照原點還是坐標軸?

    正因為雙曲線與坐標軸是無限接近的關系,并不方便描述,因此,我選擇原點為參照,再結合雙曲線關于原點中心對稱,同時也關于y=x軸對稱,將y=x這條對稱軸作出來,如下圖:

    當k>0時,y=x與雙曲線y=2/x,y=4/x,y=6/x依次相交于點A、B、C,依然從圖形直觀上觀察,OA

    于是,這條特征可以這樣描述:定義y=x與反比例函數y=k/x(k>0)第一象限內的分支交點到原點的線段長度為雙曲線到原點的距離。此時k越大,雙曲線離原點越遠。

    類似的,對于該雙曲線位于第三象限內的描述,依照相同標準,而對于后續的k<0的情況,也適用。

    中考真題

    2019年湖北省宜昌市中考數學第24題第1小題,正是考察圖形直觀,原題如下:

    我們看這道題的第1小題第2個空,當雙曲線y=k/x與正方形ABCD有四個交點,這句話如何理解?

    此題圖1中,我們看到了k>0時的一種特殊情況,以此為基準進行動態想像,雙曲線經過點B時,與正方形有在個交點,依據反比例函數圖象第四個特征,當k增大時,雙曲線離原點越來越遠,而題中正方形對角線BD恰好是y=x的一部分,因此,k>0時,只要k值比經過點B時小即可,所以0

    雖然在k<0時,并沒有y=-x進行參照,但我們可以作出這條直線,借助雙曲線對稱性進行觀察,如下圖:

    教學反思

    反比例函數圖象特征,并不一定要拘泥于教材,對于雙曲線離原點距離這一描述,依然屬于反比例函數圖象變化。教材中之所以未對此種圖象特征進行明文歸納,考慮到初中階段學生的理解水平,同時這條性質也比較容易通過幾何直觀得到,所以不作特別要求。

    但是在平時教學中,學生面對教師提出的課堂探索要求,多半會有個別人提出來,這時不宜回避,而應該用較為準確的數學語言進行描述。在備課時,也應該充分考慮到教材中所提問題,學生可能的回答。如果僅僅是向學生要求,觀察這三條反比例函數圖象特征,那么學生思維便不會受太大約束,如果針對教材上三個問題進行提問,便有可能失去探索這一特征的機會。

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