​2023年初中數(shù)學(xué)對反比例函數(shù)圖象性質(zhì)的深入解讀

反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)中，教材列舉了三個(gè)反比例函數(shù)y=2/x，y=4/x，y=6/x，要求觀察它們的圖象，發(fā)現(xiàn)它們的共同特征(教材第150頁)，同時(shí)為了引導(dǎo)學(xué)生思考，提出了三個(gè)問題：

(1)函數(shù)圖象分別位于哪個(gè)象限內(nèi)?

(2)在每一個(gè)象限內(nèi)，隨著x值的增大，y的值是怎樣變化的?能說明這是為什么嗎?

(3)反比例函數(shù)的圖象可能與x軸相交嗎?可能與y軸相交嗎?為什么?

課堂反饋

由于在前一節(jié)課中，我們練習(xí)過如何繪制反比例函數(shù)的圖象雙曲線，因此本節(jié)課的圖象是學(xué)生在練習(xí)本上繪制的，之所以沒有采用直接看課本，是為了進(jìn)一步熟悉雙曲線的特點(diǎn)，動(dòng)手畫比僅用眼看要深刻。

繪制過程中，為了讓學(xué)生方便類比，于是建議在同一個(gè)坐標(biāo)系中畫三對雙曲線，如下圖：

很快，學(xué)生能夠觀察出第一個(gè)特征：當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線在第一、三象限，且關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，關(guān)于y=x軸對稱;緊接著，第二個(gè)特征：在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減少，之所以強(qiáng)制在每個(gè)象限內(nèi)，是因?yàn)樽宰兞縳不為0，第三個(gè)特征：雙曲線無限接近坐標(biāo)軸，這個(gè)特征是受問題3啟發(fā)，畢竟是否與x軸、y軸相交，屬于圖形直觀。

按照教學(xué)要求，探索已經(jīng)圓滿完成，無論是課程標(biāo)準(zhǔn)中對反比例函數(shù)的要求，還是教參上對此部分內(nèi)容的要求，均已達(dá)到。

課程標(biāo)準(zhǔn)要求：

教參第212頁要求：

因此，當(dāng)學(xué)生提出第四個(gè)特征的時(shí)候，便是對反比例函數(shù)圖象的深入理解了，即當(dāng)k越大，雙曲線離“中間”越遠(yuǎn)。

這是一句學(xué)生歸納用語，并不十分符合數(shù)學(xué)語言規(guī)范，但是對于這個(gè)探索成果，無論如何也不應(yīng)該否定，因此，需要想辦法對它進(jìn)行數(shù)學(xué)加工。

學(xué)生的意思是k越大，雙曲線遠(yuǎn)離坐標(biāo)軸，但表述似乎也不對，剛剛探索到的第三條特征中不是說雙曲線無限接近坐標(biāo)軸嗎?怎么又遠(yuǎn)離呢?而事實(shí)上，如果觀察它們，確定一條比一條更“遠(yuǎn)”。

我們首先要明確學(xué)生的認(rèn)知范圍，在初中階段，數(shù)學(xué)上形容遠(yuǎn)近，是用距離這個(gè)概念，而最初的距離，出現(xiàn)在兩點(diǎn)之間的線段長度，后來的所有和距離有關(guān)的概念，無不是建立在兩點(diǎn)之間，例如點(diǎn)到直線的距離，過這一點(diǎn)向直線作垂線段，這點(diǎn)到垂足之間的距離叫點(diǎn)到直線的距離，再例如平行線間的距離，即其中一條直線上的任意點(diǎn)到另一條直線的距離，即使在學(xué)習(xí)圓之后，點(diǎn)和圓的位置關(guān)系時(shí)，距離是用點(diǎn)和圓心的距離，等等，基本上，談到距離，最終都會(huì)歸結(jié)為點(diǎn)與點(diǎn)之間的線段長度。

那么雙曲線怎么辦?參照原點(diǎn)還是坐標(biāo)軸?

正因?yàn)殡p曲線與坐標(biāo)軸是無限接近的關(guān)系，并不方便描述，因此，我選擇原點(diǎn)為參照，再結(jié)合雙曲線關(guān)于原點(diǎn)中心對稱，同時(shí)也關(guān)于y=x軸對稱，將y=x這條對稱軸作出來，如下圖：

當(dāng)k>0時(shí)，y=x與雙曲線y=2/x，y=4/x，y=6/x依次相交于點(diǎn)A、B、C，依然從圖形直觀上觀察，OA

于是，這條特征可以這樣描述：定義y=x與反比例函數(shù)y=k/x(k>0)第一象限內(nèi)的分支交點(diǎn)到原點(diǎn)的線段長度為雙曲線到原點(diǎn)的距離。此時(shí)k越大，雙曲線離原點(diǎn)越遠(yuǎn)。

類似的，對于該雙曲線位于第三象限內(nèi)的描述，依照相同標(biāo)準(zhǔn)，而對于后續(xù)的k<0的情況，也適用。

中考真題

2019年湖北省宜昌市中考數(shù)學(xué)第24題第1小題，正是考察圖形直觀，原題如下：

我們看這道題的第1小題第2個(gè)空，當(dāng)雙曲線y=k/x與正方形ABCD有四個(gè)交點(diǎn)，這句話如何理解?

此題圖1中，我們看到了k>0時(shí)的一種特殊情況，以此為基準(zhǔn)進(jìn)行動(dòng)態(tài)想像，雙曲線經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，與正方形有在個(gè)交點(diǎn)，依據(jù)反比例函數(shù)圖象第四個(gè)特征，當(dāng)k增大時(shí)，雙曲線離原點(diǎn)越來越遠(yuǎn)，而題中正方形對角線BD恰好是y=x的一部分，因此，k>0時(shí)，只要k值比經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)小即可，所以0

雖然在k<0時(shí)，并沒有y=-x進(jìn)行參照，但我們可以作出這條直線，借助雙曲線對稱性進(jìn)行觀察，如下圖：

教學(xué)反思

反比例函數(shù)圖象特征，并不一定要拘泥于教材，對于雙曲線離原點(diǎn)距離這一描述，依然屬于反比例函數(shù)圖象變化。教材中之所以未對此種圖象特征進(jìn)行明文歸納，考慮到初中階段學(xué)生的理解水平，同時(shí)這條性質(zhì)也比較容易通過幾何直觀得到，所以不作特別要求。

但是在平時(shí)教學(xué)中，學(xué)生面對教師提出的課堂探索要求，多半會(huì)有個(gè)別人提出來，這時(shí)不宜回避，而應(yīng)該用較為準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言進(jìn)行描述。在備課時(shí)，也應(yīng)該充分考慮到教材中所提問題，學(xué)生可能的回答。如果僅僅是向?qū)W生要求，觀察這三條反比例函數(shù)圖象特征，那么學(xué)生思維便不會(huì)受太大約束，如果針對教材上三個(gè)問題進(jìn)行提問，便有可能失去探索這一特征的機(jī)會(huì)。

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