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1.軸對稱的定

把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果它能夠與另一個圖形重合，那么稱這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，也稱這兩個圖形成軸對稱，這條直線叫做對稱軸。折疊后重合的點(diǎn)是對應(yīng)點(diǎn)，也叫做對稱點(diǎn)。

【軸對稱指的是兩個圖形的位置關(guān)系，兩個圖形沿著某條直線對折后能夠完全重合.成軸對稱的兩個圖形一定全等。】

2.軸對稱圖形的定義

把一個圖形沿著某直線折疊，如果直線兩旁的部分能互相重合，那么這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。

【軸對稱圖形是指一個圖形，圖形被對稱軸分成的兩部分能夠互相重合.一個軸對稱圖形的對稱軸不一定只有一條，也可能有兩條或多條，因圖形而定。】

3.軸對稱與軸對稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系

軸對稱與軸對稱圖形的主要區(qū)別：軸對稱是指兩個圖形，而軸對稱圖形是一個圖形;軸對稱圖形和軸對稱的關(guān)系非常密切，若把成軸對稱的兩個圖形看作一個整體，則這個整體就是軸對稱圖形;反過來，若把軸對稱圖形的對稱軸兩旁的部分看作兩個圖形，則這兩個圖形關(guān)于這條直線(原對稱軸)對稱.。

4.軸對稱的性質(zhì)

軸對稱的性質(zhì)：成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點(diǎn)的連線被對稱軸垂直平分;成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱;成軸對稱的兩個圖形全等。

5.線段的軸對稱性

①線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是它的對稱軸。

②線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端的距離相等。

③線段垂直平分線的性質(zhì)定理的逆定理：到線段兩個端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上。

【①線段的垂直平分線，畫出到線段兩個端點(diǎn)的距離，這樣就出現(xiàn)相等線段，直接或間接地為構(gòu)造全等三角形創(chuàng)造條件。②三角形三邊垂直平分線交于一點(diǎn)，該點(diǎn)到三角形三頂點(diǎn)的距離相等，這點(diǎn)是三角形外接圓的圓心——外心。】

6.線段的垂直平分線

垂直并且平分一條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線，也叫線段的中垂線。

7.角的軸對稱性

(1)角是軸對稱圖形，角的平分線所在的直線是它的對稱軸。

(2)角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。

(3)角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。

【①用符號語言表示角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。若CD平分∠ADB，點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，則PE=PF】

【②用符號語言表示角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。若PE⊥AD于點(diǎn)E，PF⊥BD于點(diǎn)F，PE=PF，則PD平分∠ADB 】

8.角平分線的畫法

角平分線的尺規(guī)作圖

·真題解析

考點(diǎn)1 判別軸對稱圖形

例1

(2013年咸寧)下列學(xué)習(xí)用具中，不是軸對稱圖形的是( 　)

分析

：根據(jù)軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合的圖形是軸對稱圖形，對各選項(xiàng)逐一判斷即可。

解：

選項(xiàng)A、B、D是軸對稱圖形，選項(xiàng)C不是軸對稱圖形，故選C。

考點(diǎn)2 線段的垂直平分線的性質(zhì)

例2

(2013年泰州)如圖1，在△ABC中，AB+AC=6 cm，BC的垂直平分線l與AC相交于點(diǎn)D，則△ABD的周長為　　cm.

分析：

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)，可得DC=DB，進(jìn)而可確定△ABD的周長。

解：

因?yàn)閘垂直平分BC，所以DB=DC

所以△ABD的周長=AB+AD+BD=AB+AD+DC=AB+AC=6 cm.故填6。

考點(diǎn)3 畫軸對稱圖形

例3

(2013年哈爾濱)如圖2所示，在每個小正方形的邊長均為1個單位長度的方格紙中，有線段AB和直線MN，點(diǎn)A，B，M，N均在小正方形的頂點(diǎn)上，在方格紙中畫四邊形ABCD(四邊形的各頂點(diǎn)均在小正方形的頂點(diǎn)上)，使四邊形ABCD是以直線MN為對稱軸的軸對稱圖形，點(diǎn)A的對稱點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)B的對稱點(diǎn)為點(diǎn)C。

分析：

過點(diǎn)A畫直線MN的垂線，垂足為O，在垂線上截取OD=OA，D就是A關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn);同理，畫出點(diǎn)B關(guān)于直線MN的對稱點(diǎn)C;連接BC，CD，DA，即可得到四邊形ABCD。

解：

正確畫圖如圖3所示。

例4

(2013年重慶)作圖題：(不要求寫作法)如圖4所示，△ABC在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為A(-2，1)，B(-4，5)，C(-5，2)。

⑴作△ABC關(guān)于直線l：x=-1對稱的△A1B1C1，其中，點(diǎn)A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1，B1，C1;

⑵寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)。

分析：

⑴根據(jù)網(wǎng)格結(jié)構(gòu)找出點(diǎn)A，B，C關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)A1，B1，C1，然后順次連接即可;⑵直接根據(jù)平面直角坐標(biāo)系寫出點(diǎn)A1，B1，C1的坐標(biāo)。

解：

⑴畫△A1B1C1如圖5所示。

⑵A1(0，1)、B1(2，5)、C1(3，2)。

考點(diǎn)4 關(guān)于x軸或y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)

例5

(2013年遂寧)將點(diǎn)A(3，2)沿x軸向左平移4個單位長度得到點(diǎn)A′，點(diǎn)A′關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　)

A.(-3，2) B.(-1，2) C.(1，2) D.(-1，-2)

分析：

先利用平移中點(diǎn)的變化規(guī)律求出點(diǎn)A′的坐標(biāo)，再根據(jù)關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可求解。

解：

因?yàn)閷Ⅻc(diǎn)A(3，2)沿x軸向左平移4個單位長度得到點(diǎn)A′，所以點(diǎn)A′的坐標(biāo)為(-1，2)。所以點(diǎn)A′關(guān)于y軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，2)，故選C。

考點(diǎn)5 等腰三角形的性質(zhì)

例6

(2013年臺灣)如圖6，在長方形ABCD中，M為CD中點(diǎn)，分別以B，M為圓心，BC，MC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)P。若∠PBC=70°，則∠MPC的度數(shù)為(　 )

A.20° B.35° C.40° D.55°

分析：

根據(jù)等腰三角形兩底角相等求出∠BCP，然后求出∠MCP，再根據(jù)“等邊對等角”求解即可.

解：

因?yàn)榉謩e以B，M為圓心，BC，MC長為半徑的兩弧相交于點(diǎn)P，所以BP=BC，MP=MC。

因?yàn)?ang;PBC=70°，所以∠BCP=1/2(180°-∠PBC)=1/2(180°-70°)=55°

在長方形ABCD中，∠BCD=90°，所以∠MCP=90°-∠BCP=90°-55°=35°

所以∠MPC=∠MCP=35°，故選B。

考點(diǎn)6 等邊三角形的性質(zhì)

例7

(2013年黔西南州)如圖8，已知△ABC是等邊三角形，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E的度數(shù)為

分析：

根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)。

解：

因?yàn)椤鰽BC是等邊三角形，所以∠ACB=60°，∠ACD=120°

因?yàn)镃G=CD，所以∠CDG=30°，∠FDE=150°

因?yàn)镈F=DE，所以∠E=15°，故填15°

考點(diǎn)7含300角的直角三角形的性質(zhì)

例8

(2013年泰安)如圖9，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分線DE交AC于點(diǎn)E，交BC的延長線于點(diǎn)F，若∠F=30°，DE=1，則BE的長是

分析：

根據(jù)題意推得∠DBE=30°，則在Rt△DBE中由“30°角所對的直角邊是斜邊的一半”即可求得線段BE的長度。

解：

因?yàn)镕D⊥AB，所以∠ACB=∠FDB=90°

因?yàn)?ang;F=30°，所以∠A=∠F=30°

又DE垂直平分線AB，所以∠EBA=∠A=30°

因?yàn)镈E=1，所以BE=2DE=2，故填2。

·誤區(qū)點(diǎn)撥

誤區(qū)1 軸對稱含義理解不清致錯

例1

如圖1中的(1)、(2)兩個圖形成軸對稱，請畫出它們的對稱軸。

錯解：

如圖1所示的直線MN

剖析：

沿直線MN對折，在直線MN兩旁的圖形的確可以互相重合，但這里要求的是畫(1)、(2)的對稱軸，而MN并不是這兩個圖形的對稱軸。畫成軸對稱的兩個圖形的對稱軸時(shí)要注意所指的是哪個兩個圖形，特別注意當(dāng)這兩個圖形本身也是軸對稱圖形時(shí)，不要把各自圖形的對稱軸作為兩個圖形的對稱軸。

正解：

如圖1所示的直線PQ

誤區(qū)2

例2

如圖2，已知A，C兩點(diǎn)關(guān)于BD對稱，下列結(jié)論：①OA=OC;②OB=OD;③AD=CD;④AB=CB。其中正確的有 (填序號即可).