2023年初中數學題庫：圓專項訓練

1.如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的切線，切點為D，CD與AB的延長線交于點C，∠A=30°，給出下面3個結論：①AD=CD;②BD=BC;③AB=2BC，其中正確結論的個數是()

A.3 B.2 C.1 D.0

考點：切線的性質.

分析：連接OD，CD是⊙O的切線，可得CD⊥OD，由∠A=30°，可以得出∠ABD=60°，△ODB是等邊三角形，∠C=∠BDC=30°，再結合在直角三角形中300所對的直角邊等于斜邊的一半，繼而得到結論①②③成立.

解答：解：如圖，連接OD，

∵CD是⊙O的切線，

∴CD⊥OD，

∴∠ODC=90°，

又∵∠A=30°，

∴∠ABD=60°，

∴△OBD是等邊三角形，

∴∠DOB=∠ABD=60°，AB=2OB=2OD=2BD.

∴∠C=∠BDC=30°，

∴BD=BC，②成立;

∴AB=2BC，③成立;

∴∠A=∠C，

∴DA=DC，①成立;

綜上所述，①②③均成立，

故答案選：A.

點評：本題考查了圓的有關性質的綜合應用，在本題中借用切線的性質，求得相應角的度數是解題的關鍵.

2.如圖，矩形ABCD的長為6，寬為3，點O1為矩形的中心，⊙O2的半徑為1，O1O2⊥AB于點P，O1O2=6.若⊙O2繞點P按順時針方向旋轉360°，在旋轉過程中，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現()

A.3次B.4次C.5次D.6次

考點：直線與圓的位置關系.

分析：根據題意作出圖形，直接寫出答案即可.

解答：解：如圖：，⊙O2與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現4次，

故選B.

點評：本題考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑.

3.如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙P的圓心P的坐標為(﹣3，0)，將⊙P沿x軸正方向平移，使⊙P與y軸相切，則平移的距離為()

(第1題圖)

A.1 B.1或5 C.3 D.5

考點：直線與圓的位置關系;坐標與圖形性質.

分析：平移分在y軸的左側和y軸的右側兩種情況寫出答案即可.

解答：解：當⊙P位于y軸的左側且與y軸相切時，平移的距離為1;

當⊙P位于y軸的右側且與y軸相切時，平移的距離為5.

故選B.

點評：本題考查了直線與圓的位置關系，解題的關鍵是了解當圓與直線相切時，點到圓心的距離等于圓的半徑.

4.如圖，P為⊙O的直徑BA延長線上的一點，PC與⊙O相切，切點為C，點D是⊙上一點，連接PD.已知PC=PD=BC.下列結論：

(1)PD與⊙O相切;(2)四邊形PCBD是菱形;(3)PO=AB;(4)∠PDB=120°.

其中正確的個數為()

A.4個B.3個C.2個D.1個

分析：(1)利用切線的性質得出∠PCO=90°，進而得出△PCO≌△PDO(SSS)，即可得出∠PCO=∠PDO=90°，得出答案即可;

(2)利用(1)所求得出：∠CPB=∠BPD，進而求出△CPB≌△DPB(SAS)，即可得出答案;

(3)利用全等三角形的判定得出△PCO≌△BCA(ASA)，進而得出CO=PO=AB;

(4)利用四邊形PCBD是菱形，∠CPO=30°，則DP=DB，則∠DPB=∠DBP=30°，求出即可.

解：(1)連接CO，DO，

∵PC與⊙O相切，切點為C，∴∠PCO=90°，

在△PCO和△PDO中，，∴△PCO≌△PDO(SSS)，∴∠PCO=∠PDO=90°，

∴PD與⊙O相切，故此選項正確;

(2)由(1)得：∠CPB=∠BPD，

在△CPB和△DPB中，，∴△CPB≌△DPB(SAS)，

∴BC=BD，∴PC=PD=BC=BD，∴四邊形PCBD是菱形，故此選項正確;

(3)連接AC，

∵PC=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵AB是⊙O直徑，∴∠ACB=90°，

在△PCO和△BCA中，，∴△PCO≌△BCA(ASA)，

∴AC=CO，∴AC=CO=AO，∴∠COA=60°，∴∠CPO=30°，

∴CO=PO=AB，∴PO=AB，故此選項正確;

(4)∵四邊形PCBD是菱形，∠CPO=30°，

∴DP=DB，則∠DPB=∠DBP=30°，∴∠PDB=120°，故此選項正確;故選：A.

點評：此題主要考查了切線的判定與性質和全等三角形的判定與性質以及菱形的判定與性質等知識，熟練利用全等三角形的判定與性質是解題關鍵.

5.如圖，PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E，交PA，PB于C，D.若⊙O的半徑為r，△PCD的周長等于3r，則tan∠APB的值是()

A.1　B.1/2 C.3/5 D.2

考點：切線的性質;相似三角形的判定與性質;銳角三角函數的定義

分析：(1)連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點F.利用切線求得CA=CE，DB=DE，PA=PB再得出PA=PB=.利用Rt△BFP∽RT△OAF得出AF=FB，在RT△FBP中，利用勾股定理求出BF，再求tan∠APB的值即可

解答：解：連接OA、OB、OP，延長BO交PA的延長線于點F.

∵PA，PB切⊙O于A、B兩點，CD切⊙O于點E

∴∠OAP=∠OBP=90°，CA=CE，DB=DE，PA=PB，

∵△PCD的周長=PC+CE+DE+PD=PC+AC+PD+DB=PA+PB=3r，

∴PA=PB=.

在Rt△BFP和Rt△OAF中，

∴Rt△BFP∽RT△OAF.

∴===，

∴AF=FB，

在Rt△FBP中，

∵PF2﹣PB2=FB2

∴(PA+AF)2﹣PB2=FB2

∴(r+BF)2﹣()2=BF2，

解得BF=r，

∴tan∠APB===，

故選：B.

6.如圖，G為△ABC的重心.若圓G分別與AC、BC相切，且與AB相交于兩點，則關于△ABC三邊長的大小關系，下列何者正確?()

A.BCAC C.ABAC

分析：G為△ABC的重心，則△ABG面積=△BCG面積=△ACG面積，根據三角形的面積公式即可判斷.

解：∵G為△ABC的重心，

∴△ABG面積=△BCG面積=△ACG面積，

又∵GHa=GHb>GHc，

∴BC=AC

故選D.

點評：本題考查了三角形的重心的性質以及三角形的面積公式，理解重心的性質是關鍵.

7.如圖，在半徑為6cm的⊙O中，點A是劣弧的中點，點D是優弧上一點，且∠D=30°，下列四個結論：

①OA⊥BC;②BC=6;③sin∠AOB=;④四邊形ABOC是菱形.

其中正確結論的序號是()

A.①③B.①②③④C.②③④D.①③④

考點：垂徑定理;菱形的判定;圓周角定理;解直角三角形.

分析：分別根據垂徑定理、菱形的判定定理、銳角三角函數的定義對各選項進行逐一判斷即可.

解答：解：∵點A是劣弧的中點，OA過圓心，

∴OA⊥BC，故①正確;

∵∠D=30°，

∴∠ABC=∠D=30°，

∴∠AOB=60°，

∵點A是點A是劣弧的中點，

∴BC=2CE，

∵OA=OB，

∴OB=OB=AB=6cm，

∴BE=AB•cos30°=6×=3 cm，

∴BC=2BE=6 cm，故B正確;

∵∠AOB=60°，

∴sin∠AOB=sin60°=，

故③正確;

∵∠AOB=60°，

∴AB=OB，

∵點A是劣弧的中點，

∴AC=OC，

∴AB=BO=OC=CA，

∴四邊形ABOC是菱形，

故④正確.

故選B.

點評：本題考查了垂徑定理、菱形的判定、圓周角定理、解直角三角形，綜合性較強，是一道好題.

8.如圖，在平面直角坐標系中，⊙P的圓心坐標是(3，a)(a>3)，半徑為3，函數y=x的圖象被⊙P截得的弦AB的長為，則a的值是()

A.4 B.7C.3 D.5

解答：解：作PC⊥x軸于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，連結PB，如圖，

∵⊙P的圓心坐標是(3，a)，

∴OC=3，PC=a，

把x=3代入y=x得y=3，

∴D點坐標為(3，3)，

∴CD=3，

∴△OCD為等腰直角三角形，

∴△PED也為等腰直角三角形，

∵PE⊥AB，

∴AE=BE=AB=×4=2，

在Rt△PBE中，PB=3，

∴PE=，

∴PD=PE=，

∴a=3+.

故選B.

點評：本題考查了垂徑定理：平分弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性質.

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