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一、實際問題與二元一次方程組的思路

1.基本思路

列方程組解應用題，是把“未知”轉換成“已知”的重要方法，它的關鍵是把已知量和未知量聯系起來，找出題目中的等量關系。一般來說，有幾個未知量就必須列出幾個方程，所列方程必須滿足：①方程兩邊表示的是同類量。②同類量的單位要統一。③方程兩邊的數要相等。

2.解應用題一般步驟

①設：用兩個字母表示問題中的兩個未知數。②列：列出方程組，要分析題意找出兩個等量關系，根據等量關系列出方程組。③解：解方程組，求出未知數的值。④答：寫出答案。

3.要點詮釋

①“設”“答”兩步，都要寫清單位名稱;②一般來說，設幾個未知數就應該列出幾個方程并組成方程組。

二、八大典型例題詳解

1.和差倍數問題

和差問題是已知兩個數的和或這兩個數的差，以及這兩個數之間的倍數關系，求這兩個數各是多少。

【典型例題】

甲、乙兩人分別以不變的速度打字，2分鐘共打了240個字，已知甲每分鐘比乙多打10個字。問甲、乙兩人每分鐘各打多少個字?

【思路點撥】

由甲、乙兩人2分鐘共打了240個字，可以得到第一個和的等量關系式，再由甲每分鐘比乙多打10個字可以得到第二個差的等量關系式，組成方程組求解即可。

【參考答案】

解：設甲每分鐘打x個字，乙每分鐘打y個字。根據題意得2(x+y)=240，x-y=10解得x=65，y=55答：甲每分鐘打65個字，乙每分鐘打55個字。

2.產品配套問題

總人數等于生產各個產品的人數之和，各個產品數量之間的比例符合整體要求。

【典型例題】

某車間有22名工人生產螺釘和螺母，每人每天平均可以生產螺釘1200個，或生產螺母2000個，一個螺釘要配兩個螺母，為了使每天生產的產品正好配套，應該分配多少名工人生產螺釘，多少名工人生產螺母?

【思路點撥】

本題的第一個等量關系比較容易得出，即生產螺釘和螺母的工人共有22名，第二個等量關系的得出要弄清螺釘與螺母是如何配套的，即螺母的數量是螺釘的數量的2倍(注意：別把2倍的關系寫反)。

【參考答案】

解：設分配x名工人生產螺釘，y名工人生產螺母。根據題意得x+y=22，2×1200x=2000y解得x=10，y=12答：應該分配10名工人生產螺釘，12名工人生產螺母。

3.工作量問題

①我們在解決工程問題時通常把工作總量看成1。②工作量=工作效率×工作時間。③總工作量=每個個體工作量之和。④工作效率=工作量÷工作時間(即單位時間的工作量)。⑤工作效率=1÷完成工作的總時間。

【典型例題】

現要整理一批文件，由1個人完成需要40個小時，計劃由一部分人先做4小時，再增加2人和他們一起再做8小時，完成這項任務，假設這些人的工作效率都相同，則應先安排多少人工作?

【思路點撥】

首先將工作總量設成1，可以得到每人的工作效率，再根據x人先做4小時可以完成的工作量，和增加2人后，(x+2)人工作8小時完成的工作量之和，等于總量1，可以列出方程，解方程求解即可。

【參考答案】

解：設總工作量為1，應先安排x人工作，則每個人的工作效率為0.025。

根據題意得4x×0.025+8(x+2)×0.025=1

解得x=2

答：應先安排2人工作。

4.利潤問題

①商品利潤=商品售價-商品進價。②利潤率=利潤÷進價×100%。

【典型例題】

商店新進一批商品準備出售，若打8折出售，則10天可以售完，并能獲利10000元;若打7.5折出售8天可以售完，可獲利8000元，商品存放一天需要100元的存貨費，求這批商品的本錢(購貨價)和預售總價各是多少?

【思路點撥】

本題有兩個未知數，即商品本錢和預售總價，也有兩個明顯的等量關系，即兩種打折出售的獲利情況，根據售價-成本-存貨費用=利潤，可以列出方程組求解即可。

【參考答案】

解：設這批商品的本錢是x元，預售總價是y元。

根據題意得0.8y-x-10×100=10000，0.75y-x-8×100=8000

解得x=24200，y=4400

答：這批商品的本錢是24200元，預售總價是44000元。

5.行程問題

①路程=速度×時間。②相遇問題：快行距+慢行距=原距追及問題。③快行距-慢行距=原距航行問題。④順水(風)速度=靜水(風)速度+水流(風)速度。⑤逆水(風)速度=靜水(風)速度-水流(風)速度。

【典型例題】

A、B兩地相距480千米，一列慢車從A地開出，一列快車從B地開出。如果兩車同時開出相向而行，那么3小時后相遇;如果兩車同時開出同向(沿BA方向)而行，那么快車12小時可追上慢車，求快車與慢車的速度。

【思路點撥】

這個問題可以利用路程、速度和時間之間的關系列方程(組)求解，要明確快車與慢車的路程與A、B兩地的距離之間的關系，相向而行兩車相遇時，快車路程+慢車路程=A、B兩地距離;同向而行兩車相遇時，快車路程-慢車路程=A、B兩地距離。

【參考答案】

解：設快車的速度為x千米每小時，慢車的速度為y千米每小時。

根據題意得3(x+y)=480，12(x-y)=480

解得x=100，y=60

答：快車的速度為100千米每小時，慢車的速度為60千米每小時。

6.存貸款問題

①利息=本金×利率×期數。②本息和(本利和)=本金+利息。

【典型例題】

蔬菜種植專業戶徐先生要辦一個小型蔬菜加工廠，分別向銀行申請了甲、乙兩種貸款，共13萬元，王先生每年須付利息6075元，已知甲種貸款的年利率為6%，乙種貸款的年利率為3.5%，則甲、乙兩種貸款分別是多少萬元?

【思路點撥】

本題第一個等量關系式很好找就是甲、乙兩種貸款的和為13萬元，第二個等量關系式則需要用到公式利息=本金×利率×期數。

【參考答案】

解：設甲種貸款x萬元，乙種貸款y萬元。由題意可得x+y=13，0.06x+0.035y=0.6075解得x=6.1，y=6.9答:甲種貸款是6.1萬元，乙種貸款是6.9萬元。

7.數字問題

已知各數位上的數字，寫出兩位數，三位數等這類問題一般設間接未知數，例如：若一個兩位數的個位數字為a，十位數字為b，則這個兩位數可以表示為10b+a。

【典型例題】

有一個兩位數，個位上的數比十位上的數大5，如果把這兩個數的位置對換，那么所得的新數與原數的和是143，求這個兩位數。

【思路點撥】

本題中的等量關系：個位上的數-十位上的數=5;原數+新數=143。

【參考答案】

解：設兩位數個位上是x，十位上是y。

根據題意得x-y=5，(10y+x)+(10x+y)=143

解得x=9，y=4

答：這個兩位數是49。

8.方案問題

在解決實際問題時，需合理安排，從幾種方案中，選擇最佳方案。方案選擇的題目較長，有時方案不止一種，閱讀時應抓住重點,比較幾種方案得出最佳方案。

【典型例題】

已知用2輛A型車和1輛B型車裝滿貨物一次可運貨10t;用1輛A型車和2輛B型車裝滿貨物一次可運貨11t。某物流公司現有31t貨物，計劃同時租用A型車a輛，B型車b輛,一次運完，且恰好每輛車都裝滿貨物。根據以上信息，解答下列問題。

(1)1輛A型車和1輛B型車都裝滿貨物一次可分別運貨多少噸。

(2)請你幫該物流公司設計租車方案。

(3)若A型車每輛需租金100元/次，B型車每輛需租金120元/次。出最省錢的租車方案，并求出最少租車費。

【思路點撥】

第(1)問中，兩個等量關系均可利用貨物的總噸數等于兩種車型所運貨物噸數之和，每種車型所運貨物的噸數等于該種車的數量乘以每輛車裝滿貨物時可運輸的貨物噸數，列出方程即可。第(2)問中，根據貨物的總噸數等于兩種車型所運貨物噸數之和列出方程，求解即可。第(3)問中，總費用等于A型車的總費用加上B型車的總費用，比較三種方案的費用得出最省錢的租車方案。

【參考答案】

解：(1)設1輛A型車裝滿貨物可運貨x噸，1輛B型車裝滿貨物可運貨y噸。

根據題意得2x+y=10，x+2y=11

解得x=3，y=4

答：1輛A型車裝滿貨物一次可運貨3噸，1輛B型車裝滿貨物一次可運貨4噸。

(2)設使用a輛A型車，b輛B型車。

根據題意得3a+4b=31

由于a、b均為正整數

所以a、b的取值可分別為1，7或5，4或9，1

答：該物流公司有三種租車方案。方案一為租用A型車1輛，B型車7輛;方案二為租用A型車5輛，B型車4輛;方案三為租用A型車9輛，B型車1輛。

(3)根據題意得

方案一：100×1+120×7=940